12. В треугольнике АВС AC = BC, AH — высота, AB = 7. tg ∠BAC = 33 / (4√33). Найдите ВН.

Решение:

Так как \( AC = BC \), треугольник АВС — равнобедренный. \( AH \) — высота, проведенная к \( BC \). Следовательно, \( < AHB = 90^\circ \).

В прямоугольном треугольнике АНВ:

\( g(< BAC) = \frac{BH}{AH} \)

Нам дано \( AB = 7 \) и \( g(< BAC) = \frac{33}{4√{33}} = \frac{33√{33}}{4 · 33} = \frac{√{33}}{4} \).

Из \( g(< BAC) = \frac{BH}{AH} \) следует \( BH = AH · g(< BAC) = AH · \frac{√{33}}{4} \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АНВ:

\( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)

\( AH^2 + (AH · \frac{√{33}}{4})^2 = 7^2 \)

\( AH^2 + AH^2 · \frac{33}{16} = 49 \)

\( AH^2 (1 + \frac{33}{16}) = 49 \)

\( AH^2 (\frac{16+33}{16}) = 49 \)

\( AH^2 (\frac{49}{16}) = 49 \)

\( AH^2 = 49 · \frac{16}{49} = 16 \)

\( AH = √{16} = 4 \).

Теперь найдем \( BH \):

\( BH = AH · g(< BAC) = 4 · \frac{√{33}}{4} = √{33} \).

Ответ: √{33}