11. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 7, tg ∠BAC = 4√33 / 33. Найдите высоту АН.

Решение:

Так как \( AC = BC \), треугольник АВС — равнобедренный. \( AH \) — высота, проведенная к основанию \( AB \).

В прямоугольном треугольнике АНС:

\( < AHC = 90^\circ \).

\( CH = AC · \sin(\angle BAC) \)

\( AH = AC · \cos(\angle BAC) \)

Нам дано \( AB = 7 \) и \( g(< BAC) = \frac{4√{33}}{33} \).

В прямоугольном треугольнике АНС:

\( g(< BAC) = \frac{CH}{AH} \)

\( CH = AH · g(< BAC) = AH · \frac{4√{33}}{33} \)

В прямоугольном треугольнике АНВ:

\( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)

Так как \( AH \) — высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, то \( H \) — середина \( AB \). Следовательно, \( BH = \frac{AB}{2} = \frac{7}{2} \).

\( AH^2 + (\frac{7}{2})^2 = 7^2 \)

\( AH^2 + \frac{49}{4} = 49 \)

\( AH^2 = 49 - \frac{49}{4} = 49(1 - \frac{1}{4}) = 49 · \frac{3}{4} \)

\( AH = √{49 · \frac{3}{4}} = 7 · \frac{√{3}}{2} = \frac{7√{3}}{2} \)

Проверим с помощью тангенса:

\( g(< BAC) = \frac{CH}{AH} = \frac{BC/2}{AH} = \frac{7/2}{7√{3}/2} = \frac{1}{√{3}} = \frac{√{3}}{3} \)

Данное в условии значение \( g(< BAC) = \frac{4√{33}}{33} \) не соответствует \( \frac{√{3}}{3} \). Следовательно, \( AH \) — высота, проведенная к \( BC \).

В прямоугольном треугольнике АНС:

\( AC = BC \). \( AH \) — высота.

\( < ABC = < BAC \).

\( g(< BAC) = \frac{4√{33}}{33} \)

\( AB = 7 \).

В прямоугольном треугольнике АНВ:

\( < AHB = 90^\circ \). \( BH = AB ·     \) (тут недостаточно данных для решения).

Если \( AH \) — высота, то \( < AHB = 90^\circ \).

\( g(< BAC) = \frac{CH}{AH} \). \( AC=BC \). \( AB=7 \).

В треугольнике АНС: \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).

В треугольнике АНВ: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).

\( AC = BC        \).

Пусть \( CH = x \), тогда \( BC = x + BH \).

\( AC = BC          \).

Из \( g(< BAC) = \frac{CH}{AH} = \frac{4√{33}}{33} \), следует \( CH = AH · \frac{4√{33}}{33} \).

Из \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \) и \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).

Поскольку \( AC=BC \), то \( AC^2 = (CH+BH)^2 \).

\( AH^2 + CH^2 = (CH+BH)^2 \)

\( AH^2 + CH^2 = CH^2 + 2 · CH · BH + BH^2 \)

\( AH^2 = 2 · CH · BH + BH^2 \).

Подставим \( CH = AH · \frac{4√{33}}{33} \) и \( AB = 7 \).

\( AB = 7 \). \( BH = 7 - CH \).

\( 7^2 = AH^2 + (7-CH)^2 \)

\( 49 = AH^2 + 49 - 14 · CH + CH^2 \)

\( 0 = AH^2 - 14 · CH + CH^2 \)

\( 0 = AH^2 - 14 · (AH · \frac{4√{33}}{33}) + (AH · \frac{4√{33}}{33})^2 \)

Разделим на \( AH^2 \) (предполагая \( AH ≠ 0 \)):

\( 0 = 1 - 14 · \frac{4√{33}}{33 · AH} + (\frac{4√{33}}{33})^2 \)

Это решение слишком сложное. Проверим условие, если \( AH \) — высота к \( AB \).

\( AH = \frac{7√{3}}{2} \) как было рассчитано ранее.

\( g(< BAC) = \frac{CH}{AH} \)

\( AC=BC \). \( AB=7 \). \( AH \) — высота.

Если \( AH \) — высота к \( BC \), то \( < AHB = 90^\circ \). \( AB = 7 \).

\( g(< BAC) = \frac{CH}{AH} \)

\( AC = BC   \). \( AB = 7 \).

В прямоугольном треугольнике АНВ: \( BH = AB ·     \).

Если \( AC = BC \), то \( < BAC = < ABC \).

\( g(< BAC) = \frac{4√{33}}{33} \). \( AB = 7 \).

Высота \( AH \) делит \( BC \) пополам, если \( C \) — вершина. Тогда \( BH = CH \) и \( BC = 2CH \). \( AB \) — основание.

\( g(< BAC) = \frac{CH}{AH} \)

\( g(< ABC) = \frac{AC · g(< BAC)}{AB} \).

Если \( AH \) — высота, то \( < AHB = 90^\circ \).

\( AC = BC \), \( AB = 7 \).

\( g(< BAC) = \frac{4√{33}}{33} \).

В прямоугольном треугольнике АНВ:

\( g(< BAC) = \frac{BH}{AH} \)

\( BH = AH · g(< BAC) = AH · \frac{4√{33}}{33} \).

По теореме Пифагора: \( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)

\( AH^2 + (AH · \frac{4√{33}}{33})^2 = 7^2 \)

\( AH^2 + AH^2 · \frac{16 · 33}{33^2} = 49 \)

\( AH^2 (1 + \frac{16 · 33}{33 · 33}) = 49 \)

\( AH^2 (1 + \frac{16}{33}) = 49 \)

\( AH^2 (\frac{33+16}{33}) = 49 \)

\( AH^2 (\frac{49}{33}) = 49 \)

\( AH^2 = 49 · \frac{33}{49} = 33 \)

\( AH = √{33} \).

Ответ: √{33}