12. В ДАВС и ДА₁В₁С₁ медианы ВМ и В₁М₁ равны, АВ=А₁В₁, AM=A₁M₁. Докажите, что ДАВС = ДА₁В₁С₁

Решение:

Дано: В ΔABC и ΔA₁B₁C₁: BM = B₁M₁, AB = A₁B₁, AM = A₁M₁.

Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

1. Рассмотрим треугольники ΔABM и ΔA₁B₁M₁.
2. По условию AB = A₁B₁, AM = A₁M₁, BM = B₁M₁.
3. Следовательно, ΔABM = ΔA₁B₁M₁ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
4. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, в частности, ∠BAM = ∠B₁A₁M₁, что соответствует углу ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.
5. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔA₁B₁C₁.
6. По условию AB = A₁B₁, AC = AM + MC, A₁C₁ = A₁M₁ + M₁C₁.
7. Так как BM — медиана, то AM = MC. Аналогично, A₁M₁ = M₁C₁.
8. Так как AM = A₁M₁, то MC = M₁C₁.
9. Следовательно, AC = AM + MC = A₁M₁ + M₁C₁ = A₁C₁.
10. Итак, в треугольниках ΔABC и ΔA₁B₁C₁ равны три стороны: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, и угол между двумя сторонами ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (из равенства ΔABM и ΔA₁B₁M₁).
11. Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Доказано.