11. В ДАВС АВ = ВС, ВЕ — медиана треугольника АВС. Угол АВЕ = 41°. Найдите Углы АВС и СЕВ.

Решение:

Дано: В ΔABC AB = BC, BE — медиана. ∠ABE = 41°.

Найти: ∠ABC, ∠CEB.

1. Так как AB = BC, то ΔABC — равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой. Так как BE — медиана, то она также является биссектрисой угла ∠ABC.
3. Следовательно, ∠ABE = ∠CBE.
4. По условию ∠ABE = 41°, значит, ∠CBE = 41°.
5. Угол ∠ABC равен сумме углов ∠ABE и ∠CBE: ∠ABC = ∠ABE + ∠CBE = 41° + 41° = 82°.
6. Так как BE — высота, то BE ⊥ AC, значит, ∠BEС = 90°.
7. Рассмотрим ΔBEC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
8. ∠BEC + ∠CBE + ∠BCE = 180°.
9. 90° + 41° + ∠BCE = 180°.
10. ∠BCE = 180° - 90° - 41° = 49°.

Ответ: ∠ABC = 82°, ∠CEB = 90°.