10. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. BD = AC, OB=OC. а) Докажите, что ΔAOB = ΔCOD; б) Найдите периметр △ COD, если АВ=9см, ВО=5см, OD=7см.

Решение:

Дано: Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. BD = AC, OB = OC.

а) Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔCOD.
2. По условию BD = AC.
3. Так как OB = OC, то BD = BO + OD и AC = AO + OC.
4. Из равенства BD = AC и OB = OC следует, что AO = DO.
5. Углы ∠AOB и ∠COD — вертикальные, следовательно, ∠AOB = ∠COD.
6. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
7. Следовательно, ΔAOB = ΔCOD по первому признаку равенства треугольников (AO = DO, OB = OC, ∠AOB = ∠COD).

б) Нахождение периметра △ COD:

1. Из доказанного равенства треугольников ΔAOB = ΔCOD следует, что соответствующие стороны равны: AB = CD, AO = DO, OB = OC.
2. По условию AB = 9 см, OB = 5 см, OD = 7 см.
3. Из равенства сторон следует, что CD = AB = 9 см.
4. Периметр треугольника COD равен сумме длин его сторон: P_△COD = CO + OD + CD.
5. Так как OB = OC, то CO = 5 см.
6. P_△COD = 5 см + 7 см + 9 см = 21 см.

Ответ: а) Доказано; б) 21 см.