12. Основания трапеции равны 22 и 88, одна из боковых сторон равна 31√2, а угол между ней и одним из оснований равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Дано:

• Трапеция ABCD.
• Основания: a = 22, b = 88.
• Боковая сторона: c = 31√2.
• Угол между боковой стороной и основанием: 45°.

Найти: Площадь трапеции (S).

Решение:

1. Формула площади трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)
2. Найдем высоту (h): Опустим высоту из вершины острого угла одной из боковых сторон на большее основание. Получится прямоугольный треугольник, где гипотенуза - боковая сторона (31√2), один из острых углов - 45°, а катет, противолежащий этому углу, - высота (h).
3. Используем синус угла: \( \sin(45^{\circ}) = \frac{h}{31\sqrt{2}} \)
4. Так как \( \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то:
5. \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{31\sqrt{2}} \)
6. Выразим h: \( h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 31\sqrt{2} = \frac{31 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{31 \cdot 2}{2} = 31 \).
7. Вычислим площадь трапеции:
8. \( S = \frac{22+88}{2} \cdot 31 = \frac{110}{2} \cdot 31 = 55 \cdot 31 \)
9. \( 55 \cdot 31 = 55 \cdot (30 + 1) = 55 \cdot 30 + 55 \cdot 1 = 1650 + 55 = 1705 \).

Ответ: 1705