12 На рисунке показана схема участка электрической цепи. По участку АВ течёт постоянный ток I = 4 А. Какое напряжение показывает идеальный вольтметр, если сопротивление r = 1 Ом?

Решение:

В данной схеме резистор с сопротивлением \( r \) и последовательно соединённый с ним вольтметр подключены параллельно к двум ветвям. Каждая из этих ветвей состоит из двух резисторов с сопротивлением \( 3r \) и \( r \), соединённых последовательно.

Сопротивление каждой из параллельных ветвей:

\( R_{ветви} = 3r + r = 4r \)

Учитывая, что \( r = 1 \text{ Ом} \), сопротивление каждой ветви:

\( R_{ветви} = 4 \cdot 1 \text{ Ом} = 4 \text{ Ом} \)

Общее сопротивление участка, включающее две параллельные ветви, рассчитывается по формуле:

\( R_{общее} = \frac{R_{ветви} \cdot R_{ветви}}{R_{ветви} + R_{ветви}} = \frac{4 \text{ Ом} \cdot 4 \text{ Ом}}{4 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом}} = \frac{16 \text{ Ом}^2}{8 \text{ Ом}} = 2 \text{ Ом} \)

Теперь рассмотрим участок цепи, включающий резистор \( r \) и параллельные ветви. Резистор \( r \) соединён последовательно с эквивалентным сопротивлением двух параллельных ветвей. Следовательно, общее сопротивление участка АВ:

\( R_{AB} = r + R_{общее} = 1 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом} = 3 \text{ Ом} \)

Общий ток, протекающий через участок АВ, равен \( I = 4 \text{ А} \).

Напряжение на участке АВ:

\( U_{AB} = I \cdot R_{AB} = 4 \text{ А} \cdot 3 \text{ Ом} = 12 \text{ В} \)

Напряжение на резисторе \( r \) (который последовательно соединён с параллельными ветвями):

\( U_r = I \cdot r = 4 \text{ А} \cdot 1 \text{ Ом} = 4 \text{ В} \)

Напряжение, которое показывает идеальный вольтметр, равно напряжению на параллельных ветвях. Так как вольтметр подключён параллельно этим ветвям, напряжение на нём равно общему напряжению участка АВ минус напряжение на последовательном резисторе \( r \):

\( U_{вольтметр} = U_{AB} - U_r = 12 \text{ В} - 4 \text{ В} = 8 \text{ В} \)

Ответ: 8 В.