12. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что отрезки ВК и DM равны.

Решение:

1. ABCD — параллелограмм. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

2. По свойству диагоналей параллелограмма, точка пересечения диагоналей делит их пополам: \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

3. Прямая проходит через точку O и пересекает BC в точке K и AD в точке M.

4. Рассмотрим треугольники BOC и DOA. \( BO = OD \) и \( AO = OC \). \( \angle BOC = \angle DOA \) как вертикальные углы. Следовательно, \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) по первому признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). Из подобия следует, что \( \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{DA} = 1 \), что подтверждает равенство сторон.

5. Рассмотрим треугольники BOK и DOM.

6. \( \angle BOK = \angle DOM \) как вертикальные углы.

7. Так как BC \( \parallel \) AD, то \( \angle OBK = \angle ODM \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

8. Следовательно, \( \triangle BOK \sim \triangle DOM \) по второму признаку подобия (по двум углам).

9. Из подобия следует равенство соответствующих сторон: \( \frac{BK}{DM} = \frac{BO}{DO} = \frac{OK}{OM} \).

10. Так как \( BO = DO \), то \( \frac{BO}{DO} = 1 \).

11. Следовательно, \( \frac{BK}{DM} = 1 \), что означает \( BK = DM \).

Доказано