11. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение:

1. ABCD — трапеция, BC \( \parallel \) AD.

2. Рассмотрим треугольники CBD и BDA.

3. Угол \( \angle ADB = \angle CBD \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD.

4. Угол \( \angle ADB = \angle BDA \) — это один и тот же угол.

5. Рассмотрим треугольники CBD и BDA.

6. Угол \( \angle CBD \) и угол \( \angle ADB \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BD, поэтому \( \angle CBD = \angle ADB \).

7. Угол \( \angle BDA \) является общим для треугольников CBD и BDA.

8. Угол \( \angle BCD \) и угол \( \angle DAB \) — углы трапеции.

9. Чтобы доказать подобие треугольников CBD и BDA, нам нужно либо два равных угла, либо пропорциональность сторон.

10. Из равенства углов \( \angle CBD = \angle ADB \) мы уже имеем два угла, которые могут сделать треугольники подобными, если они являются соответствующими углами.

11. Рассмотрим отношение сторон:

\( \frac{BC}{AD} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \)

\( \frac{BD}{DA} \) — мы не знаем DA.

12. Чтобы доказать подобие, нам нужен ещё один равный угол или пропорциональность сторон.

13. Рассмотрим соотношение сторон, если треугольники подобны. Если \( \triangle CBD \sim \triangle BDA \), то \( \frac{CB}{BD} = \frac{BD}{DA} = \frac{CD}{BA} \).

14. У нас есть \( CB = 9 \), \( AD = 36 \), \( BD = 18 \).

15. Если \( \triangle CBD \sim \triangle BDA \), то \( \frac{CB}{BD} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \). И \( \frac{BD}{DA} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \).

16. Так как \( \frac{CB}{BD} = \frac{BD}{DA} \) и угол \( \angle CBD = \angle BDA \) (общий угол), то треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними (или по пропорциональности двух сторон и равенству угла между ними).

Доказано