12. (1 балл) Найдите значение \( \sin \alpha \), если известно, что \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) и \( \alpha \in II \) четверти.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Выразим \( \sin \alpha \):

\( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \)

Подставим значение \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \):

\( \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} \)

Теперь найдём \( \sin \alpha \):

\( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \)

По условию, \( \alpha \) принадлежит II четверти. Во II четверти \( \sin \alpha \) положителен, а \( \cos \alpha \) отрицателен.

Следовательно, \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \).

Ответ: 3/5.