12. (1 балл) Найдите корень уравнения x = \(\frac{7x - 6}{x + 2}\)

Решение:

Перенесём всё в одну часть уравнения, чтобы приравнять к нулю:

\( x - \frac{7x - 6}{x + 2} = 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{x(x + 2) - (7x - 6)}{x + 2} = 0 \)

Раскроем скобки в числителе:

\( \frac{x^2 + 2x - 7x + 6}{x + 2} = 0 \)

\( \frac{x^2 - 5x + 6}{x + 2} = 0 \)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Числитель равен нулю:

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

2. Знаменатель не равен нулю:

\( x + 2 \neq 0 \)

\( x \neq -2 \)

Оба найденных корня (2 и 3) не равны -2, поэтому подходят.

Ответ: x = 2, x = 3.