12. (1 балл) Найдите корень уравнения

Решение:

Дано уравнение:

\( x = \frac{7x - 6}{x + 2} \)

Чтобы найти корень, приведём уравнение к виду, где \( x \) — неизвестная. Умножим обе части уравнения на \( (x+2) \), предполагая, что \( x \neq -2 \).

\( x(x + 2) = 7x - 6 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 + 2x = 7x - 6 \)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 2x - 7x + 6 = 0 \)

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

Способ 1: По теореме Виета

Ищем два числа, произведение которых равно \( 6 \), а сумма равна \( 5 \).

Числа 2 и 3 удовлетворяют этим условиям: \( 2 \cdot 3 = 6 \) и \( 2 + 3 = 5 \).

Значит, корни уравнения \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \).

Способ 2: Через дискриминант

\( a = 1, b = -5, c = 6 \).

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).

\( \sqrt{D} = 1 \).

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Проверим, что \( x \neq -2 \) (что выполняется для обоих корней).

Ответ: x = 2, x = 3.