12. (1 балл). Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² +1, x₀ = 1.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \).

Дано: \( f(x) = x^2 + 1 \) и \( x_0 = 1 \).

1. Найдем значение функции в точке x₀:

• \( f(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)

2. Найдем производную функции f(x):

• \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x \)

3. Найдем значение производной в точке x₀:

• \( f'(1) = 2 · 1 = 2 \)

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

• \( y = f(1) + f'(1)(x - 1) \)
• \( y = 2 + 2(x - 1) \)
• \( y = 2 + 2x - 2 \)
• \( y = 2x \)

Ответ: Уравнение касательной: \( y = 2x \).