114. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.

Краткое пояснение:

• Медиана делит сторону пополам.
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.
• Периметр — сумма длин сторон.
• Для решения задачи составим систему уравнений, используя периметры данных треугольников.

Решение:

1. Пусть AB = AC = b (боковые стороны равнобедренного треугольника ABC).
2. Пусть BC = a (основание).
3. AM — медиана, поэтому M — середина BC, и BM = MC = a/2.
4. Периметр △ABC = AB + AC + BC = b + b + a = 2b + a.
5. По условию, периметр △ABC = 32 см, следовательно, 2b + a = 32.
6. Периметр △ABM = AB + BM + AM.
7. По условию, периметр △ABM = 24 см, следовательно, b + a/2 + AM = 24.
8. Так как △ABC равнобедренный с основанием BC, медиана AM является также высотой. Следовательно, △AMB — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.
9. По теореме Пифагора: AM² + BM² = AB².
10. AM² + (a/2)² = b².
11. AM² + a²/4 = b².
12. AM² = b² - a²/4.
13. AM = √(b² - a²/4).
14. У нас есть система уравнений:
• 1) 2b + a = 32
• 2) b + a/2 + AM = 24
15. Из уравнения (1) выразим a: a = 32 - 2b.
16. Подставим a в уравнение (2): b + (32 - 2b)/2 + AM = 24.
17. b + 16 - b + AM = 24.
18. 16 + AM = 24.
19. AM = 24 - 16 = 8 см.
20. Проверим, используя теорему Пифагора.
21. Если AM = 8, то 8² + (a/2)² = b².
22. 64 + a²/4 = b².
23. Из 2b + a = 32, a = 32 - 2b.
24. 64 + (32 - 2b)²/4 = b².
25. 64 + (1024 - 128b + 4b²)/4 = b².
26. 64 + 256 - 32b + b² = b².
27. 320 - 32b = 0.
28. 32b = 320.
29. b = 10 см.
30. Тогда a = 32 - 2*10 = 32 - 20 = 12 см.
31. Проверим периметр △ABC: 2*10 + 12 = 20 + 12 = 32 см. Верно.
32. Проверим периметр △ABM: AB + BM + AM = 10 + (12/2) + 8 = 10 + 6 + 8 = 24 см. Верно.

Ответ: Медиана AM равна 8 см.