№11. В треугольнике АВС медиана ВМ перпендикулярна стороне АС. Найдите длину стороны АВ, если ВМ = 12, АС = 32.

Решение:

В треугольнике АВС медиана ВМ перпендикулярна стороне АС. Это означает, что ВМ является также и высотой треугольника АВС. Если медиана является высотой, то треугольник АВС является равнобедренным с основанием АС.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, делит его пополам. Значит, \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ. По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AM^2 + BM^2 \)

\( AB^2 = 16^2 + 12^2 \)

\( AB^2 = 256 + 144 \)

\( AB^2 = 400 \)

\( AB = \sqrt{400} = 20 \)

Ответ: 20.