№11. В треугольнике АВС медиана ВМ перпендикулярна стороне АС. Найдите длину стороны АВ, если ВМ = 12, AC = 32.

Решение:

Так как медиана ВМ перпендикулярна стороне АС, то ВМ является также высотой треугольника АВС. В треугольнике, где медиана совпадает с высотой, треугольник является равнобедренным. Следовательно, АВ = ВС.

Медиана делит сторону пополам, поэтому \( AM = MC = \frac{AC}{2} \).

По условию \( AC = 32 \text{ м} \), значит \( AM = MC = \frac{32}{2} = 16 \text{ м} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ ABM \). По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AM^2 + BM^2 \)

\( AB^2 = 16^2 + 12^2 \)

\( AB^2 = 256 + 144 \)

\( AB^2 = 400 \)

\( AB = \sqrt{400} = 20 \text{ м} \).

Так как \( AB = BC \), то \( AB = 20 \text{ м} \).

Ответ: 20 м.