№11. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса АК. ∠B = 30°, КВ = 14. Найдите длину катета ВС.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) ∠B = 30°.
2. Тогда ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°.
3. АК — биссектриса, значит, она делит ∠BAC пополам: ∠BAK = ∠KAC = 60° / 2 = 30°.
4. Рассмотрим треугольник KBC. ∠C = 90°, ∠B = 30°.
5. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
6. В треугольнике KBC гипотенуза — сторона BC, а катет, лежащий напротив угла ∠B (30°), — это KC.
7. Значит, KC = BK / 2.
8. По условию BK = 14.
9. KC = 14 / 2 = 7.
10. BC = BK + KC = 14 + 7 = 21.
11. Проверим: В треугольнике ABC, ∠C=90, ∠B=30, ∠A=60. BC = 21.
12. tg(30°) = AC / BC => AC = BC * tg(30°) = 21 * (1/√3) = 21√3 / 3 = 7√3.
13. AB = BC / cos(30°) = 21 / (√3/2) = 42/√3 = 14√3.
14. AK — биссектриса.
15. Рассмотрим треугольник ABK. ∠B=30, ∠BAK=30. Треугольник ABK равнобедренный. AB=BK=14.
16. Но по расчетам AB=14√3. Это противоречие.
17. Возвращаемся к треугольнику ABC.
18. Мы знаем, что ∠C = 90°, ∠B = 30°, ∠BAC = 60°.
19. АК — биссектриса ∠BAC, значит ∠BAK = ∠KAC = 30°.
20. Рассмотрим треугольник ABK. ∠B = 30°, ∠BAK = 30°. Значит, треугольник ABK равнобедренный с AB = BK.
21. По условию BK = 14. Значит, AB = 14.
22. Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ABC.
23. У нас есть гипотенуза AB = 14 и угол ∠B = 30°.
24. Нам нужно найти катет BC.
25. Используем косинус угла B: cos(B) = BC / AB.
26. cos(30°) = BC / 14.
27. √3 / 2 = BC / 14.
28. BC = 14 * (√3 / 2) = 7√3.

Ответ: 7√3