№11. Сумма двух углов ромба равна 120°, а его периметр равен 84. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

Решение:

В ромбе противоположные углы равны, а сумма двух соседних углов равна 180°. Если сумма двух углов равна 120°, то это два острых угла. Значит, каждый острый угол равен \( 120° : 2 = 60° \).

Так как периметр ромба равен 84, то длина стороны ромба равна \( 84 : 4 = 21 \).

Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Острый угол ромба (60°) делится диагональю пополам, то есть 30°.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его катеты — это половины диагоналей, а гипотенуза — сторона ромба (21). Один из углов равен 30°.

Пусть \( d_1 \) — меньшая диагональ, а \( d_2 \) — большая. Тогда её половина \( \frac{d_1}{2} \) является катетом, противолежащим углу 30°.

По теореме синусов в прямоугольном треугольнике:

\( \sin(30°) = \frac{\frac{d_1}{2}}{21} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{d_1}{42} \)

\( d_1 = \frac{42}{2} = 21 \)

Ответ: 21.