11. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 18, а боковые ребра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Задание 11. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

Дано:

• Правильная треугольная пирамида.
• Стороны основания \( a = 18 \).
• Боковые ребра \( l = 15 \).

Найти: площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:

\[ S_{бок} = p \cdot h_a \]

где \( p \) — полупериметр основания, а \( h_a \) — апофема (высота боковой грани).

1. Найдём полупериметр основания:

   Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 18 \). Периметр основания \( P = 3a = 3 \cdot 18 = 54 \).

   Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{54}{2} = 27 \).

2. Найдём апофему:

   Апофема, боковое ребро и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Обозначим апофему как \( h_a \).

   Половина стороны основания равна \( \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

   Используем теорему Пифагора:

   \[ h_a^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = l^2 \]

   \[ h_a^2 + 9^2 = 15^2 \]

   \[ h_a^2 + 81 = 225 \]

   \[ h_a^2 = 225 - 81 \]

   \[ h_a^2 = 144 \]

   \[ h_a = \sqrt{144} = 12 \]

3. Вычислим площадь боковой поверхности:

   \[ S_{бок} = p \cdot h_a = 27 \cdot 12 \]

   \[ S_{бок} = 324 \]

Ответ: 324