10. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 5/3. Найдите объём этой пирамиды.

Задание 10. Объём правильной треугольной пирамиды

Дано:

• Правильная треугольная пирамида.
• Сторона основания \( a = 6 \).
• Высота пирамиды \( h = \frac{5}{3} \).

Найти: объём пирамиды \( V \).

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]

где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания:

   Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 6 \).

   Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

   \[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

   Подставим значение \( a = 6 \):

   \[ S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \]

2. Вычислим объём пирамиды:

   Подставим площадь основания и высоту в формулу объёма:

   \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{3} \cdot \frac{5}{3} \]

   \[ V = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{45 \sqrt{3}}{9} \]

   \[ V = 5 \sqrt{3} \]

Ответ: \[ 5 \sqrt{3} \]