№11. Сократите дробь: \(\frac{4\sqrt{12}-\sqrt{108}-2\sqrt{75}}{2\sqrt{18}+5\sqrt{8}-\sqrt{128}}\).

Решение:

Преобразуем числитель:

• \( 4\sqrt{12} = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \)
• \( 2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \cdot 3} = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \)
• Числитель: \( 8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = (8-6-10)\sqrt{3} = -8\sqrt{3} \)

Преобразуем знаменатель:

• \( 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
• \( 5\sqrt{8} = 5\sqrt{4 \cdot 2} = 5 \cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \)
• Знаменатель: \( 6\sqrt{2} + 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = (6+10-8)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)

Сократим дробь:

• \( \frac{-8\sqrt{3}}{8\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
• Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\) для избавления от иррациональности в знаменателе: \( -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2} \)

Ответ: \(-\frac{\sqrt{6}}{2}\)