11. Решите уравнение \( \frac{13x}{2x^2 - 7} = 1 \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \[ \frac{13x}{2x^2 - 7} - 1 = 0 \]
2. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{13x - (2x^2 - 7)}{2x^2 - 7} = 0 \]
3. Упростим числитель: \[ \frac{-2x^2 + 13x + 7}{2x^2 - 7} = 0 \]
4. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
5. Решим квадратное уравнение \( -2x^2 + 13x + 7 = 0 \) или \( 2x^2 - 13x - 7 = 0 \).
6. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 \).
7. \( \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 \).
8. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]
9. Проверим знаменатель \( 2x^2 - 7 \) для найденных корней:
10. Для \( x = 7 \): \( 2(7)^2 - 7 = 2(49) - 7 = 98 - 7 = 91 \neq 0 \).
11. Для \( x = -0.5 \): \( 2(-0.5)^2 - 7 = 2(0.25) - 7 = 0.5 - 7 = -6.5 \neq 0 \).
12. Оба корня подходят.
13. Меньший из корней: \( -0.5 \).

Ответ: -0.5