11. При каком значении переменной а выражение (0,5(a-1)^2 - 18) * (a+5)/(a-7) + (a-7)/(a+5) принимает наименьшее значение?

Решение:

Заметим, что выражение \( (a+5)/(a-7) + (a-7)/(a+5) \) представляет собой сумму взаимно обратных величин. Пусть \( y = (a+5)/(a-7) \). Тогда выражение принимает вид \( y + 1/y \).

Сумма взаимно обратных величин \( y + 1/y \) принимает наименьшее значение, когда \( y = -1 \).

Приравняем \( y \) к -1:

\( \frac{a+5}{a-7} = -1 \)

\( a+5 = -(a-7) \)

\( a+5 = -a+7 \)

\( 2a = 2 \)

\( a = 1 \)

Теперь проверим значение всего выражения при \( a = 1 \).

\( 0,5(1-1)^2 - 18 = 0,5(0)^2 - 18 = -18 \)

\( \frac{a+5}{a-7} = \frac{1+5}{1-7} = \frac{6}{-6} = -1 \)

\( \frac{a-7}{a+5} = \frac{1-7}{1+5} = \frac{-6}{6} = -1 \)

Исходное выражение при \( a=1 \) равно:

\( (-18) \cdot (-1) + (-1) = 18 - 1 = 17 \)

Чтобы убедиться, что это наименьшее значение, рассмотрим функцию \( f(y) = y + 1/y \). Её производная \( f'(y) = 1 - 1/y^2 \). Приравнивая к нулю, получаем \( y = \pm 1 \). Вторая производная \( f''(y) = 2/y^3 \). При \( y = 1 \), \( f''(1) = 2 > 0 \) (минимум). При \( y = -1 \), \( f''(-1) = -2 < 0 \) (максимум).

Однако, при \( y = -1 \) выражение \( 0,5(a-1)^2 - 18 \) равно -18, а \( y + 1/y \) равно -2. В нашем случае множитель \( 0,5(a-1)^2 - 18 \) неотрицателен, когда \( 0,5(a-1)^2 ≥ 18 \), \( (a-1)^2 ≥ 36 \), \( |a-1| ≥ 6 \), т.е. \( a ≥ 7 \) или \( a ≤ -5 \). Если \( y = -1 \), то \( a=1 \), что не входит в эти интервалы.

Рассмотрим случай, когда \( y = 1 \).

\( \frac{a+5}{a-7} = 1 \)

\( a+5 = a-7 \)

\( 5 = -7 \) (невозможно).

Рассмотрим случай, когда \( 0,5(a-1)^2 - 18 = 0 \), что происходит при \( a = 7 \) или \( a = -5 \). В этих случаях всё выражение равно 0.

Наименьшее значение достигается, когда \( 0,5(a-1)^2 - 18 \) принимает свое наименьшее значение, которое равно -18 при \( a=1 \), а \( y + 1/y \) при этом равно \( -1 + (-1) = -2 \). Однако, \( y = -1 \) требует \( a=1 \), а \( 0,5(a-1)^2 - 18 \) при \( a=1 \) равно -18. В таком случае, когда один множитель отрицателен, а другой множитель, являющийся суммой взаимно обратных, стремится к минимуму, нужно искать минимум.

Функция \( f(a) = (0.5(a-1)^2 - 18) \left(\frac{a+5}{a-7} + \frac{a-7}{a+5}\right) \).

Если \( a=1 \), то \( 0.5(1-1)^2 - 18 = -18 \). \( \frac{1+5}{1-7} + \frac{1-7}{1+5} = -1 + (-1) = -2 \). Общее значение: \( -18 \times -2 = 36 \).

При \( a=0 \), \( 0.5(0-1)^2 - 18 = 0.5 - 18 = -17.5 \). \( \frac{0+5}{0-7} + \frac{0-7}{0+5} = -5/7 - 7/5 = (-25 - 49)/35 = -74/35 \). Общее значение: \( -17.5 \times (-74/35) = -35/2 \times -74/35 = 37 \).

При \( a=2 \), \( 0.5(2-1)^2 - 18 = 0.5 - 18 = -17.5 \). \( \frac{2+5}{2-7} + \frac{2-7}{2+5} = 7/-5 + (-5)/7 = (-49 - 25)/35 = -74/35 \). Общее значение: \( -17.5 \times (-74/35) = 37 \).

При \( a=-5 \) или \( a=7 \), выражение равно 0.

Наименьшее значение достигается, когда \( a=1 \) и оно равно 36.

Ответ: 1