11. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см. Найдите объем конуса.

Решение:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны образующей \( l \), а основание равно диаметру основания конуса \( 2R \). Высота конуса \( H \) является высотой этого треугольника, проведенной к основанию.

По условию, осевое сечение — прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см. Это означает, что треугольник, образованный двумя образующими и диаметром основания, является прямоугольным. Это возможно только в случае, если угол между образующими равен 90 градусов.

В равнобедренном треугольнике, где угол при вершине равен 90°, гипотенузой является диаметр основания \( 2R \), а катетами — образующие \( l \). По условию, гипотенуза равна 8 см, значит \( 2R = 8 \) см, следовательно, \( R = 4 \) см.

По теореме Пифагора для такого треугольника: \( l^2 + l^2 = (2R)^2 \) => \( 2l^2 = 8^2 \) => \( 2l^2 = 64 \) => \( l^2 = 32 \).

Высота \( H \) в таком прямоугольном равнобедренном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, \( H = \frac{2R}{2} = R = 4 \) см.

Объем конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \).

Подставим найденные значения:

\( V = \frac{1}{3}\pi (4 \text{ см})^2 (4 \text{ см}) \)

\( V = \frac{1}{3}\pi (16 \text{ см}^2) (4 \text{ см}) \)

\( V = \frac{64\pi}{3} \text{ см}^3 \)

Ответ: \( V = \frac{64\pi}{3} \text{ см}^3 \).