11. Один из маятников совершил 10 колебаний. Другой за это же время совершил 5 колебаний. Во сколько раз длина второго маятника больше первого? Маятники считать математическими.

Решение:

Период математического маятника \( T \) связан с его длиной \( l \) формулой: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \). Отсюда длина маятника \( l = \frac{gT^2}{4\pi^2} \).

Пусть \( T_1 \) и \( l_1 \) — период и длина первого маятника, а \( T_2 \) и \( l_2 \) — второго.

Количество колебаний \( n \) за время \( t \) равно \( n = \frac{t}{T} \). Значит, \( T = \frac{t}{n} \).

По условию, за одно и то же время \( t \) первый маятник совершил \( n_1 = 10 \) колебаний, а второй — \( n_2 = 5 \) колебаний.

Тогда \( T_1 = \frac{t}{10} \) и \( T_2 = \frac{t}{5} \).

Отношение периодов:

\( \frac{T_2}{T_1} = \frac{t/5}{t/10} = \frac{t}{5} \cdot \frac{10}{t} = 2 \).

Значит, \( T_2 = 2T_1 \).

Теперь найдём отношение длин:

\( \frac{l_2}{l_1} = \frac{gT_2^2 / (4\pi^2)}{gT_1^2 / (4\pi^2)} = \frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = 2^2 = 4 \).

Длина второго маятника в 4 раза больше длины первого.

Ответ: в 4 раза.