11. Боковая сторона равнобедренного треугольника АВС равна 3, а основание АС равно 2. В этом треугольнике провели биссектрисы AL и СМ. Найдите длину отрезка LM.

AL и CM - биссектрисы. По теореме о биссектрисе: CL/LA = BC/AB = 3/3 = 1, значит CL = LA.
CM делит AB в отношении AC:BC = 2:3. AM = 2/5 * 3 = 6/5. MB = 3/5 * 3 = 9/5.
AL делит BC в отношении AB:AC = 3:2. BL = 3/5 * 3 = 9/5. LC = 2/5 * 3 = 6/5.
Рассмотрим треугольник ABC и отрезок LM. LM параллелен AC по теореме Фалеса (так как AL и CM делят стороны пропорционально).
Треугольник LBM подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия k = LB/BC = (9/5)/3 = 3/5.
LM/AC = k. LM/2 = 3/5. LM = 6/5.