11. (3 балла) Первый садовод высаживает 126 саженцев на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько саженцев за час высаживает первый садовод, если известно, что он за час может высадить на 5 саженцев больше второго?

Решение:

Обозначим:

• \( x \) — количество саженцев, которое высаживает второй садовод за час (саж./час).
• \( x + 5 \) — количество саженцев, которое высаживает первый садовод за час (саж./час).
• \( t_1 \) — время, за которое первый садовод высаживает 126 саженцев.
• \( t_2 \) — время, за которое второй садовод высаживает 126 саженцев.

Из условия известно, что \( t_1 = t_2 - 5 \) часов.

Также мы знаем, что:

• \( t_1 = \frac{126}{x+5} \)
• \( t_2 = \frac{126}{x} \)

Подставим эти выражения во второе уравнение:

\[ \frac{126}{x+5} = \frac{126}{x} - 5 \]

Теперь решим это уравнение:

1. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{126}{x+5} = \frac{126 - 5x}{x} \)
2. Перемножим крест-накрест: \( 126x = (126 - 5x)(x+5) \)
3. Раскроем скобки: \( 126x = 126x + 126 \cdot 5 - 5x^2 - 25x \)
4. \( 126x = 126x + 630 - 5x^2 - 25x \)
5. Сократим \( 126x \) с обеих сторон: \( 0 = 630 - 5x^2 - 25x \)
6. Перенесём всё в левую часть и поменяем знак: \( 5x^2 + 25x - 630 = 0 \)
7. Разделим на 5: \( x^2 + 5x - 126 = 0 \)
8. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-126) = 25 + 504 = 529 \). \( \sqrt{D} = 23 \).
9. Найдём \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ x_1 = \frac{-5 + 23}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{-5 - 23}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \]

Так как количество саженцев не может быть отрицательным, \( x = 9 \) саженцев/час — это производительность второго садовника.

Нам нужно найти, сколько саженцев за час высаживает первый садовод:

\[ \text{Производительность первого садовода} = x + 5 = 9 + 5 = 14 \text{ саженцев/час} \]

Ответ: 14 саженцев за час.