11.25. Восемь различных книг расставляются наугад на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

Решение:

Общее число способов расставить 8 различных книг на полке равно числу перестановок из 8 элементов: \( P_8 = 8! \).

\[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \]

Рассмотрим две определенные книги как единый блок. Теперь у нас есть \( 7 \) объектов для расстановки (6 книг + 1 блок из двух книг).

Число способов расставить эти 7 объектов равно \( P_7 = 7! \).

\[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \]

Внутри блока две определенные книги могут располагаться двумя способами (книга А, книга Б или книга Б, книга А).

Следовательно, число благоприятных исходов, когда две определенные книги стоят рядом, равно \( 7! \times 2 \).

\[ 7! \times 2 = 5040 \times 2 = 10080 \]

Вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P = \frac{7! \times 2}{8!} = \frac{7! \times 2}{8 \times 7!} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( \frac{1}{4} \).