11.23. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три стандартных.

Решение:

Всего деталей: \( N = 8 \).

Стандартных деталей: \( K = 6 \).

Нестандартных деталей: \( N - K = 8 - 6 = 2 \).

Выбираем \( n = 5 \) деталей.

Нужно найти вероятность того, что среди них ровно \( k = 3 \) стандартных.

Это задача на гипергеометрическое распределение. Число способов выбрать 5 деталей из 8 равно \( C(8, 5) \).

\[ C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \]

Число способов выбрать 3 стандартных детали из 6 равно \( C(6, 3) \).

\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

Число способов выбрать \( 5 - 3 = 2 \) нестандартных деталей из 2 равно \( C(2, 2) \).

\[ C(2, 2) = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1 \]

Число благоприятных исходов равно произведению этих сочетаний: \( C(6, 3) \times C(2, 2) = 20 \times 1 = 20 \).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P = \frac{C(6, 3) \times C(2, 2)}{C(8, 5)} = \frac{20 \times 1}{56} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \]

Ответ: \( \frac{5}{14} \).