№10 Представьте произведение 10⁻ⁿ · 0,0125⁻ⁿ · 128ⁿ⁺¹ в виде степени с основанием 2. В ответ запишите значение выражения при n = 1/10.

Решение:

1. Преобразуем числовые множители в степени с основанием 2:

\( 10 = 2 \cdot 5 \)

\( 0,0125 = \frac{125}{10000} = \frac{1}{80} = \frac{1}{2^4 \cdot 5} \)

\( 128 = 2^7 \)

Подставим эти значения в исходное произведение:

\[ (2 \cdot 5)^{-n} \cdot \left(\frac{1}{2^4 \cdot 5}\right)^{-n} \cdot (2^7)^{n+1} \]

Раскроем скобки и применим свойства степеней:

\[ 2^{-n} \cdot 5^{-n} \cdot (2^4 \cdot 5)^{n} \cdot 2^{7(n+1)} \]

\[ 2^{-n} \cdot 5^{-n} \cdot 2^{4n} \cdot 5^{n} \cdot 2^{7n+7} \]

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\[ (2^{-n} \cdot 2^{4n} \cdot 2^{7n+7}) \cdot (5^{-n} \cdot 5^{n}) \]

Сложим показатели степеней:

\[ 2^{-n+4n+7n+7} \cdot 5^{-n+n} \]

\[ 2^{10n+7} \cdot 5^0 \]

\[ 2^{10n+7} \cdot 1 \]

\[ 2^{10n+7} \]

2. Найдем значение выражения при \( n = \frac{1}{10} \):

Подставим \( n = \frac{1}{10} \) в полученную степень:

\[ 2^{10 \cdot \frac{1}{10} + 7} \]

\[ 2^{1 + 7} \]

\[ 2^8 \]

Вычислим \( 2^8 \):

\[ 2^8 = 256 \]

Ответ: 2¹⁰ⁿ⁺⁷; 256.