1064 1) \( \log_3 \frac{9}{\sqrt{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36} \); 2) \( 16^{0.5 \log_4 10 + 1} \)

Решение:

1) \( \log_3 \frac{9}{\sqrt{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36} \)

Вычислим первый логарифм:

\( \log_3 \frac{9}{\sqrt{3}} = \log_3 (9 \cdot 3^{-\frac{1}{2}}) = \log_3 (3^2 \cdot 3^{-\frac{1}{2}}) = \log_3 (3^{2 - \frac{1}{2}}) = \log_3 (3^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} \)

Вычислим второй логарифм:

\( \log_6 \sqrt[5]{36} = \log_6 (36^{\frac{1}{5}}) = \log_6 ((6^2)^{\frac{1}{5}}) = \log_6 (6^{\frac{2}{5}}) = \frac{2}{5} \)

Сложим результаты:

\( \frac{3}{2} + \frac{2}{5} = \frac{15 + 4}{10} = \frac{19}{10} = 1.9 \)

2) \( 16^{0.5 \log_4 10 + 1} \)

Упростим показатель степени:

\( 0.5 \log_4 10 = \frac{1}{2} \log_4 10 = \log_4 (10^{\frac{1}{2}}) = \log_4 \sqrt{10} \)

\( \log_4 \sqrt{10} + 1 = \log_4 \sqrt{10} + \log_4 4 = \log_4 (4\sqrt{10}) \)

Теперь подставим обратно в основание степени:

\( 16^{\log_4 (4\sqrt{10})} \)

Представим 16 как \( 4^2 \):

\( (4^2)^{\log_4 (4\sqrt{10})} = 4^{2 \cdot \log_4 (4\sqrt{10})} = 4^{\log_4 ((4\sqrt{10})^2)} \)

\( (4\sqrt{10})^2 = 16 \cdot 10 = 160 \)

\( 4^{\log_4 160} = 160 \)

Ответ: 1) 1.9; 2) 160.