10. \( (x-2)^4 + 3(x-2)^2 - 10 = 0 \)

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = (x-2)^2 \).

1. Подставим \( y \) в уравнение: \( y^2 + 3y - 10 = 0 \).
2. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \).
3. Найдем корни \( y \): \( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5 \).
4. Теперь вернемся к замене \( y = (x-2)^2 \):
• Случай 1: \( (x-2)^2 = 2 \)
• Извлечем квадратный корень: \( x-2 = \pm\sqrt{2} \)
• Тогда \( x = 2 \pm\sqrt{2} \).
• Случай 2: \( (x-2)^2 = -5 \)
• Так как квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: \( x = 2 + \sqrt{2}, x = 2 - \sqrt{2} \).