10. \(\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{4}{x-1} - 12 = 0\)

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \frac{1}{x-1} \). Обозначим \( y = \frac{1}{x-1} \).

1. Подставим \( y \) в уравнение: \( y^2 + 4y - 12 = 0 \).
2. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \).
3. Найдем корни \( y \): \( y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6 \).
4. Теперь найдем \( x \), используя \( y = \frac{1}{x-1} \):
• Если \( y_1 = 2 \), то \( \frac{1}{x-1} = 2 \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 2(x-1) \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 2x - 2 \) \(\Rightarrow\) \( 3 = 2x \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{3}{2} \).
• Если \( y_2 = -6 \), то \( \frac{1}{x-1} = -6 \) \(\Rightarrow\) \( 1 = -6(x-1) \) \(\Rightarrow\) \( 1 = -6x + 6 \) \(\Rightarrow\) \( -5 = -6x \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{5}{6} \).

Ответ: \( x = \frac{3}{2}, x = \frac{5}{6} \).