10. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°, отрезок AM — биссектриса треугольника. Найдите длину отрезка AM, если BM = 4 см.

Так как \(\angle C=90^\circ\), а \(\angle A=60^\circ\), то \(\angle B=30^\circ\).

В треугольнике \(ABC\) сторона \(AC\), лежащая напротив угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы \(AB\). Поэтому \(AB=2AC\).

По теореме о биссектрисе:

\(\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}=2\).

При \(BM=4\) см получаем \(MC=2\) см.

В прямоугольном треугольнике \(AMC\): \(\angle CAM=30^\circ\), поэтому \(MC=\dfrac{AM}{2}\).

Следовательно, \(AM=2MC=2\cdot2=4\) см.

Ответ: 4 см.