10. Решите уравнение x⁴ = (4x - 5)².

Решение:

1. Перепишем уравнение, извлекая квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что при извлечении квадратного корня из квадрата, мы получаем абсолютное значение:
2. \[ \sqrt{x^4} = \sqrt{(4x - 5)^2} \]
3. \[ x^2 = |4x - 5| \]
4. Теперь нам нужно рассмотреть два случая, так как выражение под модулем может быть как положительным, так и отрицательным.
5. Случай 1: 4x - 5 ≥ 0 (то есть \( x \ge \frac{5}{4} \))
6. В этом случае |4x - 5| = 4x - 5.
7. \[ x^2 = 4x - 5 \]
8. Перенесем все члены в одну сторону:
9. \[ x^2 - 4x + 5 = 0 \]
10. Найдем дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) по формуле \( D = b^2 - 4ac \):
11. \[ D = (-4)^2 - 4 · 1 · 5 = 16 - 20 = -4 \]
12. Так как дискриминант отрицательный (D < 0), это квадратное уравнение не имеет действительных корней.
13. Случай 2: 4x - 5 < 0 (то есть \( x < \frac{5}{4} \))
14. В этом случае |4x - 5| = -(4x - 5) = -4x + 5.
15. \[ x^2 = -4x + 5 \]
16. Перенесем все члены в одну сторону:
17. \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]
18. Найдем дискриминант:
19. \[ D = (4)^2 - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36 \]
20. Так как дискриминант положительный (D > 0), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
• \[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 · 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
• \[ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 · 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
21. Оба найденных корня (1 и -5) удовлетворяют условию \( x < \frac{5}{4} \) (так как \( \frac{5}{4} = 1,25 \)).
22. Итак, корни уравнения: 1 и -5. В порядке возрастания: -51.

Ответ: -51