10. Радиус основания конуса равен 12 см, а образующая 15 см. Найдите высоту и объём конуса.

Решение:

Дано:

• Радиус основания конуса \( R = 12 \) см
• Образующая конуса \( L = 15 \) см

Найти:

• Высоту конуса \( H \)
• Объём конуса \( V \)

1. Найдём высоту конуса.

Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:

\[ H^2 + R^2 = L^2 \]

\[ H^2 + (12 \text{ см})^2 = (15 \text{ см})^2 \]

\[ H^2 + 144 \text{ см}^2 = 225 \text{ см}^2 \]

\[ H^2 = 225 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2 \]

\[ H^2 = 81 \text{ см}^2 \]

\[ H = \sqrt{81 \text{ см}^2} \]

\[ H = 9 \text{ см} \]

2. Найдём объём конуса.

Формула объёма конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \).

\[ V = \frac{1}{3} \pi (12 \text{ см})^2 (9 \text{ см}) \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi (144 \text{ см}^2) (9 \text{ см}) \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi (1296 \text{ см}^3) \]

\[ V = 432 \pi \text{ см}^3 \]

Ответ: Высота конуса \( H = 9 \) см, объём конуса \( V = 432\pi \) см³.