10. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и № соответственно, AB=54, AC=48, MN=40. Найдите АМ.

Задание 10. Подобные треугольники (теорема Фалеса)

Дано:

• Треугольник ABC.
• Прямая MN параллельна AC, где M на AB, N на BC.
• AB = 54
• AC = 48
• MN = 40

Найти: AM.

Решение:

1. Так как прямая MN параллельна стороне AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC. \( \boldsymbol{\triangle} MBN \backsim \boldsymbol{\triangle} ABC \).
2. Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно: \[ \frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \]
3. Подставим известные значения: \[ \frac{MB}{54} = \frac{BN}{BC} = \frac{40}{48} \]
4. Упростим дробь \( \frac{40}{48} \): \[ \frac{40}{48} = \frac{5 \times 8}{6 \times 8} = \frac{5}{6} \]
5. Теперь мы знаем, что \( \frac{MB}{AB} = \frac{5}{6} \).
6. Подставим значение AB = 54: \[ \frac{MB}{54} = \frac{5}{6} \]
7. Найдем MB: \[ MB = \frac{5}{6} \times 54 \]
8. \( MB = 5 \times 9 = 45 \)
9. Нам нужно найти AM. AM — это отрезок AB минус отрезок MB.
10. \( AM = AB - MB \)
11. \( AM = 54 - 45 \)
12. \( AM = 9 \)

Ответ: AM = 9.