10. Какое наибольшее двузначное натуральное число при делении на 15 даёт остаток, равный 7?

Решение:

Пусть искомое число равно \( N \). По условию, \( N \) — двузначное натуральное число, \( N = 15q + 7 \), где \( q \) — частное. Нам нужно найти наибольшее такое \( N \).

Так как \( N \) — двузначное, то \( 10 ≤ N ≤ 99 \).

Подставим \( N = 15q + 7 \):

\( 10 ≤ 15q + 7 ≤ 99 \)

Вычтем 7 из всех частей неравенства:

\( 10 - 7 ≤ 15q ≤ 99 - 7 \)

\( 3 ≤ 15q ≤ 92 \)

Разделим все части на 15:

\( \frac{3}{15} ≤ q ≤ \frac{92}{15} \)

\( 0.2 ≤ q ≤ 6.13... \)

Так как \( q \) — натуральное число (частное), то \( q \) может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Нам нужно найти наибольшее \( N \), поэтому возьмём наибольшее возможное значение \( q \), то есть \( q = 6 \).

\( N = 15 \cdot 6 + 7 = 90 + 7 = 97 \).

Проверим: \( 97 : 15 = 6 \) (остаток 7). \( 97 \) — двузначное число.

Ответ: 97