10. Докажите, что выражение 5³ + 3·5⁴ + 2·5⁵ кратно 66.

Решение:

Чтобы доказать, что выражение кратно 66, разложим его на множители так, чтобы одним из множителей была 66 или число, кратное 66.

Вынесем общий множитель \( 5^3 \) за скобки:

\[ 5^3 + 3 \cdot 5^4 + 2 \cdot 5^5 = 5^3 (1 + 3 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^2) \]

Вычислим значение в скобках:

• \( 1 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 25 \)
• \( 1 + 15 + 50 \)
• \( 66 \)

Теперь подставим это значение обратно:

\[ 5^3 \cdot 66 \]

Поскольку одно из множителей равно 66, то всё выражение \( 5^3 \cdot 66 \) делится на 66 без остатка.

Доказано.