10. Докажите, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — числа рациональные.

Решение:

Пусть \( a \) и \( b \) — два рациональных числа. По определению, рациональное число можно представить в виде дроби \( \frac{p}{q} \), где \( p \) — целое число, а \( q \) — натуральное число.

Пусть \( a = \frac{p_1}{q_1} \) и \( b = \frac{p_2}{q_2} \), где \( p_1, p_2 \) — целые числа, а \( q_1, q_2 \) — натуральные числа.

1. Разность: \( a - b = \frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 q_2 - p_2 q_1}{q_1 q_2} \). Числитель \( p_1 q_2 - p_2 q_1 \) является целым числом (произведение и разность целых чисел). Знаменатель \( q_1 q_2 \) является натуральным числом (произведение натуральных чисел). Следовательно, разность \( a - b \) — рациональное число.
2. Произведение: \( a \cdot b = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2} \). Числитель \( p_1 p_2 \) является целым числом. Знаменатель \( q_1 q_2 \) является натуральным числом. Следовательно, произведение \( a \cdot b \) — рациональное число.
3. Частное: \( a : b = \frac{p_1}{q_1} : \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{q_2}{p_2} = \frac{p_1 q_2}{q_1 p_2} \). Поскольку \( b \) — делитель, \( b \neq 0 \), значит, \( p_2 \neq 0 \). Числитель \( p_1 q_2 \) является целым числом. Знаменатель \( q_1 p_2 \) является целым числом. Так как \( q_1 > 0 \) и \( p_2 \neq 0 \), знаменатель \( q_1 p_2 \) — ненулевое целое число. Следовательно, частное \( a : b \) — рациональное число.

Доказано.