10. (1 балл) В правильной четырехугольной пирамиде анофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Апофема — это высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (это радиус вписанной окружности основания).

1. Высота пирамиды \( H = 6 \) см. Угол между апофемой и плоскостью основания \( α = 60^\circ \).
2. Найдем радиус вписанной окружности основания \( r \): \( \tan(α) = \frac{H}{r} \) \( \tan(60^\circ) = \frac{6}{r} \) \( \text{sqrt}(3) = \frac{6}{r} \) \( r = \frac{6}{\text{sqrt}(3)} = \frac{6 \text{sqrt}(3)}{3} = 2\text{sqrt}(3) \) см.
3. Сторона квадрата в основании \( a = 2r = 2 \times 2\text{sqrt}(3) = 4\text{sqrt}(3) \) см.
4. Площадь основания \( S_{\text{осн}} = a^2 = (4\text{sqrt}(3))^2 = 16 \times 3 = 48 \) см².
5. Найдем апофему \( h_a \): \( \frac{1}{\tan(α)} = \frac{r}{H} \) \( \text{ctg}(60^\circ) = \frac{2\text{sqrt}(3)}{6} = \frac{\text{sqrt}(3)}{3} \) или \( \frac{1}{\text{sqrt}(3)} = \frac{2\text{sqrt}(3)}{6} \).
6. Найдем апофему \( h_a \) из прямоугольного треугольника: \( h_a^2 = H^2 + r^2 = 6^2 + (2\text{sqrt}(3))^2 = 36 + 12 = 48 \) \( h_a = \text{sqrt}(48) = 4\text{sqrt}(3) \) см.
7. Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} h_a \), где \( P_{\text{осн}} \) — периметр основания.
8. \( P_{\text{осн}} = 4a = 4 \times 4\text{sqrt}(3) = 16\text{sqrt}(3) \) см.
9. \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 16\text{sqrt}(3) \times 4\text{sqrt}(3) = 8\text{sqrt}(3) \times 4\text{sqrt}(3) = 32 \times 3 = 96 \) см².
10. Площадь полной поверхности пирамиды \( S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 48 + 96 = 144 \) см².

Ответ: 144 см².