1) В окружности с центром O проведены радиус OE и касательная DF. Угол OFD = 40 градусов. Найдите угол EOF.

Решение:

1. По свойству касательной, радиус OE перпендикулярен касательной DF в точке касания E. Следовательно, \( \angle OEF = 90^{\circ} \).
2. В треугольнике OEF, сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Мы знаем, что \( \angle OFD = 40^{\circ} \), и так как касательная перпендикулярна радиусу, то \( \angle OFE = 40^{\circ} \) (по условию).
3. Угол \( \angle EOF \) является частью треугольника OEF. Сумма углов в треугольнике OEF: \( \angle EOF + \angle OEF + \angle OFE = 180^{\circ} \).
4. Подставляем известные значения: \( \angle EOF + 90^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ} \).
5. \( \angle EOF + 130^{\circ} = 180^{\circ} \).
6. \( \angle EOF = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \).

Ответ: 50.