1. Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй — 16, а третий — 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий — 11?

Решение:

1. Обозначим производительность первого, второго и третьего экскаватора как \( P_1, P_2, P_3 \) соответственно.
2. Из условия, если каждый работает 12 часов, работа выполнена: \( 12 P_1 = 12 P_2 = 12 P_3 \), что означает \( P_1 = P_2 = P_3 \). Обозначим эту производительность как \( P \).
3. Второй сценарий: \( 8 P_1 + 16 P_2 + 10 P_3 \) — это объём работы.
4. Если \( P_1 = P_2 = P_3 = P \), то \( 8 P + 16 P + 10 P = 34 P \).
5. Обозначим объём работы как \( V \). Тогда \( V = 34 P \).
6. Пусть \( x \) — время работы второго экскаватора, когда первый работал 10 часов, а третий — 11 часов.
7. Объём работы, выполненный первым и третьим экскаваторами: \( 10 P + 11 P = 21 P \).
8. Оставшийся объём работы: \( V - 21 P = 34 P - 21 P = 13 P \).
9. Этот объём должен быть выполнен вторым экскаватором: \( x P_2 = 13 P \), то есть \( x P = 13 P \).
10. Отсюда \( x = 13 \) часов.

Ответ: 13 часов.