1. \(\sqrt{2x-1} = x-2\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\sqrt{2x-1}\right)^2 = (x-2)^2 \]

\[ 2x-1 = x^2 - 4x + 4 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 - 4x + 4 - 2x + 1 = 0 \]

\[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Проверим корни. Условие \( x-2 \ge 0 \), то есть \( x \ge 2 \).

Для \( x=5 \): \(\sqrt{2\cdot5-1} = \sqrt{10-1} = \sqrt{9} = 3\) и \( 5-2 = 3 \). \( 3=3 \). Подходит.

Для \( x=1 \): \(\sqrt{2\cdot1-1} = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1\) и \( 1-2 = -1 \). \( 1 \ne -1 \). Не подходит.

Ответ: \( x = 5 \).