1. Решить уравнения a) 16 ⋅ 8^(2+3x) = 1 б) 2 log₃ 2 - log₃(x - 1) = 1 + log₃ 5

Решение:

а) \( 16 \cdot 8^{2+3x} = 1 \)

1. Перепишем уравнение, выразив степени через основание 2: \( 2^4 \cdot (2^3)^{2+3x} = 1 \).
2. Упростим: \( 2^4 \cdot 2^{9+9x} = 1 \).
3. Сложим показатели степени: \( 2^{4+9+9x} = 1 \) или \( 2^{13+9x} = 1 \).
4. Так как \( 2^0 = 1 \), приравниваем показатели: \( 13+9x = 0 \).
5. Решаем линейное уравнение: \( 9x = -13 \), \( x = -\frac{13}{9} \).

б) \( 2 \log_3 2 - \log_3(x - 1) = 1 + \log_3 5 \)

1. Перенесём логарифмы в одну сторону, а константу в другую: \( 2 \log_3 2 - \log_3 5 - 1 = \log_3(x-1) \).
2. Используем свойства логарифмов: \( \log_3 2^2 - \log_3 5 - \log_3 3 = \log_3(x-1) \)
3. \( \log_3 4 - \log_3 5 - \log_3 3 = \log_3(x-1) \)
4. \( \log_3 \frac{4}{5 \cdot 3} = \log_3(x-1) \)
5. \( \log_3 \frac{4}{15} = \log_3(x-1) \)
6. Приравниваем аргументы логарифмов: \( x - 1 = \frac{4}{15} \).
7. Находим \( x \): \( x = 1 + \frac{4}{15} = \frac{15+4}{15} = \frac{19}{15} \).
8. Проверим область допустимых значений: \( x-1 > 0 \) ⇒ \( x > 1 \). \( \frac{19}{15} > 1 \), значит, корень подходит.

Ответ: а) \( x = -\frac{13}{9} \); б) \( x = \frac{19}{15} \).