1. Понятие производной. Описать, в чем состоит физический и геометрический смысл производной. 2. Цилиндр и его элементы. Объем цилиндра. Формула для вычисления объема цилиндра 3. Практическое задание.

Экзаменационный билет № 6

1. Производная:

Понятие производной: Производная функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) — это предел отношения приращения функции \( \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \) к приращению аргумента \( \Delta x \) при \( \Delta x \to 0 \).

\( f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \)

Геометрический смысл производной: Производная функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке, с положительным направлением оси абсцисс: \( f'(x_0) = \operatorname{tg} \alpha \).

Физический смысл производной: Производная пути по времени есть мгновенная скорость движения: \( v(t) = s'(t) \).

2. Цилиндр:

Цилиндр — это тело, которое получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Элементы цилиндра:

• Основания: два равных круга, лежащие в параллельных плоскостях.
• Высота (h): перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований.
• Радиус основания (r): радиус кругов, составляющих основания.
• Образующие: отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований. Длина образующей равна высоте цилиндра \( h \).

Объем цилиндра:

Формула для вычисления объема цилиндра: \( V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h \).

3. Практическое задание: (требует конкретного задания для выполнения).