1. Образующая конуса равна 10см и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем конуса.

Решение:

1. Найдём высоту конуса \( h \) и радиус основания \( r \), используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном образующей, высотой и радиусом:

\( h = l \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.

\( r = l \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

2. Вычислим объём конуса по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \):

\[ V = \frac{1}{3} \pi (5\sqrt{3})^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi (25 \cdot 3) \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 \cdot 5 = 25 \pi \cdot 5 = 125\pi \text{ см}^3 \]

Ответ: \( 125\pi \text{ см}^3 \).