1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекается в точке О, ∠ABO = 36°. Найдите угол AOD.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, \( OA = OB = OC = OD \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABO \). Так как \( OA = OB \) (половины равных диагоналей), то \( \triangle ABO \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, \( \angle OAB = \angle OBA = 36^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle ABO \) равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).

Угол \( \angle AOD \) и угол \( \angle AOB \) — смежные, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

Тогда \( \angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).

Ответ: \( 72^{\circ} \).