1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Диагональ BD делит углы параллелограмма на части. Из условия задачи известно, что диагональ образует с двумя сторонами углы 50° и 85°.

Эти углы могут быть частями одного угла параллелограмма или частями двух смежных углов.

Случай 1: Углы 50° и 85° являются частями одного угла.

Тогда угол параллелограмма равен 50° + 85° = 135°.

Смежный с ним угол равен 180° - 135° = 45°.

В этом случае меньший угол равен 45°.

Случай 2: Углы 50° и 85° являются частями смежных углов.

Пусть угол A = 50° + x, а угол B = 85° + y, где x и y — другие части углов.

Однако, если 50° и 85° — это углы, которые диагональ образует с *разными* сторонами, то возможны следующие варианты:

1. Угол при вершине A состоит из двух углов, образованных диагональю с AB и AD.
2. Угол при вершине B состоит из двух углов, образованных диагональю с AB и BC.

Рассмотрим углы, образуемые диагональю BD с сторонами AB, BC, CD, AD.

Пусть ∠ABD = 50° и ∠CBD = 85° (или наоборот).

Если ∠ABD = 50°, а ∠ADB = 85°, то в треугольнике ABD сумма углов ∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°.

∠A + 50° + 85° = 180°

∠A + 135° = 180°

∠A = 45°.

Это один из углов параллелограмма. Смежный с ним угол равен 180° - 45° = 135°.

Таким образом, углы параллелограмма равны 45° и 135°.

Меньший угол параллелограмма равен 45°.

Проверка:

Если ∠DBC = 50°, а ∠BDC = 85°, то в треугольнике BCD:

∠C + ∠DBC + ∠BDC = 180°

∠C + 50° + 85° = 180°

∠C = 45°.

В параллелограмме противоположные углы равны, значит ∠A = ∠C = 45°.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠A + ∠B = 180°.

45° + ∠B = 180°

∠B = 135°.

Углы параллелограмма: 45°, 135°, 45°, 135°.

Меньший угол равен 45°.

Ответ: 45°.