1. Дать определение параллельных прямых. Сформулировать аксиому параллельных прямых, свойства параллельных прямых. 2. Сформулировать и доказать свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°. (задача 1 стр.120) 3. Треугольник АВС – равнобедренный (AB=BC), ∠B = 24°, CP – биссектриса треугольника, РК параллельна ВС и пересекает сторону АС в точке К. Найдите ∠KPC. 4. Медиана СМ треугольника АВС равна половине стороны АВ. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. (задача, стр. 108)

Билет 8

1. Параллельные прямые: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых (по Евклиду): Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Свойства параллельных прямых:

• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
• Соответственные углы равны.
• Накрест лежащие углы равны.
• Сумма односторонних углов равна 180°.

2. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°: Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
2. Достроим треугольник ABC до треугольника ABD, симметрично отразив ABC относительно стороны AB.
3. Тогда \( \angle DBA = \angle CBA = 60^{\circ} \) и \( \angle DAB = \angle CAB = 30^{\circ} \).
4. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
5. Рассмотрим треугольник ABD: \( \angle DAB = 30^{\circ}, \angle DBA = 60^{\circ} \). \( \angle ADB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ} \).
6. Треугольник ABD равносторонний, так как все его углы по 60° (ошибка: \( \angle ADB = 90^{\circ} \), значит, треугольник ABD прямоугольный, но не равносторонний. \( \angle B = 120^{\circ} \)).
7. Коррекция доказательства:
8. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 60^{\circ} \).
9. Построим точку D такую, что C - середина BD. Треугольники ABC и ACD равны по двум сторонам и углу между ними (AC - общая сторона, BC = CD, \( \angle ACB = \angle ACD = 90^{\circ} \)).
10. Следовательно, \( AB = AD \) и \( \angle CAD = \angle CAB = 30^{\circ} \).
11. Тогда \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
12. Рассмотрим треугольник ABD. \( AB = AD \) и \( \angle BAD = 60^{\circ} \), значит, треугольник ABD равносторонний.
13. Следовательно, \( AB = BD \).
14. Так как \( BD = BC + CD \) и \( BC = CD \) (по построению), то \( BD = 2  BC \).
15. Значит, \( AB = 2  BC \), или \( BC = \frac{1}{2} AB \).
16. Таким образом, катет BC, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы AB.

3. Решение:

1. В равнобедренном треугольнике ABC \( AB = BC \) и \( \angle B = 24^{\circ} \).
2. Найдем углы при основании: \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 24^{\circ}}{2} = \frac{156^{\circ}}{2} = 78^{\circ} \).
3. CP – биссектриса \( \angle C \), значит, \( \angle BCP = \angle PCA = \frac{78^{\circ}}{2} = 39^{\circ} \).
4. PK || BC. Рассмотрим секущую AC. \( \angle APK = \angle ACB = 78^{\circ} \) (как соответственные углы).
5. Рассмотрим секущую PC. \( \angle KPC = \angle BCP = 39^{\circ} \) (как накрест лежащие углы).

Ответ: \( \angle KPC = 39^{\circ} \).

4. Доказательство:

Пусть CM – медиана треугольника ABC, и \( CM = \frac{1}{2} AB \).

1. Рассмотрим треугольник ABC. Проведем медиану CM.
2. По теореме, обратной свойству медианы прямоугольного треугольника: если медиана, проведённая к стороне треугольника, равна половине этой стороны, то треугольник прямоугольный, и эта сторона является гипотенузой.
3. Так как медиана CM равна половине стороны AB, то угол, противолежащий стороне AB (то есть \( \angle ACB \)), равен 90°.
4. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный.

Ответ: Треугольник ABC прямоугольный.